Haciendo metafísica a partir de la lógica

1. I) Sobre la existencia de un primer instante del tiempo.

Este argumento se basa en la paradoja de Benardete (1964) y en la de Yablo (1993) que tienen idéntica estructura y el autor (Luna 2009) ha publicado una versión de él en inglés.

Sea T una sucesión temporal de instantes t_n. Cada instante t_n de T puede estar determinado de diversa manera; para simplificar asumamos que cada elemento de T puede estar en un estado 1 ó en un estado 0. Estipulemos que el estado de cada t_n está determinado por los estados de los instantes anteriores de esta manera:

1. D)para todo t_n, t_n está en 1 si y sólo todos los instantes anteriores a t_n están en 0 ó t_n es el primer instante.

Proposición.

Si el pasado está irreversiblemente determinado, el tiempo tiene un primer instante.

Argumentación.

Suponemos que el pasado está irreversiblemente determinado. Argumentamos que, bajo esa suposición, si no hay un primer instante, D determina efectivamente el estado de cada t_n y a la vez D no determina efectivamente el estado de cada t_n.

1. Argumentamos primero que, si no hay un primer instante, D determina efectivamente.

Para cada t_n los estados de los instantes anteriores a t_n son acontecimientos pasados en el tiempo, de modo que están irreversiblemente determinados: o bien fueron todos 0 ó bien alguno no fue 0. Como la determinación del estado de cada t_n depende según D sólo de la determinación de los estados de los instantes anteriores y estos están definitivamente determinados, el estado de cada t_n queda efectivamente determinado por D.

2. Demostramos ahora que, si no hay un primer instante, D no determina efectivamente.

Si no hay un primer instante D es contradictoria. Sea t_i un t_n cualquiera. Supongamos que t_i está en 1; entonces todos los instantes anteriores están en 0; en concreto el instante inmediatamente anterior t_i-1 está en 0; pero también están en 0 todos los instantes anteriores a t_i-1, luego t_i-1 está en 1. Contradicción. Luego t_i no está en 1 sino en 0. Como t_i es un instante cualquiera, todos los instantes están en 0.

Pero si t_i está en 0, hay algún instante anterior a t_i que está en 1, contra lo que acabamos de demostrar. Luego si S no tiene un primer instante, D es contradictoria. Siendo contradictoria, no determina efectivamente.

Para evitar la contradicción entre 1. y 2., si el pasado está irreversiblemente determinado, tiene que existir un primer instante.

Si existe un primer instante, D determina sin contradicción todos los instantes: el primero estará en 1 y todos los siguientes estarán en 0. La existencia de un primer instante evita la contradicción. Lo que este argumento indica es que nuestra concepción habitual del tiempo, según la cual el pasado está irreversiblemente determinado, es incompatible con la ausencia de un primer instante.

II) Una refutación del Computacionalismo.

Este argumento se basa en la idea intuitivamente evidente de que una proposición matemáticamente bien definida no puede ser paradójica como la del Mentiroso.

1. Llamamos computacionalismo(CP) a la tesis que afirma que la inteligencia humana equivale a un algoritmo (una máquina de Turing). CP es una versión fuerte del Computacionalismo e implica que la capacidad humana de demostrar proposiciones equivale a la capacidad de un programa de ordenador (llamémoslo P) de generar oraciones.

2. Sea G la siguiente oración:

      “G no es demostrable por la inteligencia humana”.

Recordamos al lector que una oración es un objeto sintáctico (una ristra de símbolos) y que eso hace que haya maneras exactas de expresar una oración autorreferente como G; por ejemplo, la conocida fórmula debida a Quine  (1966): ‘“añadido a su entrecomillado no da lugar a una oración demostrable por la inteligencia humana” añadido a su entrecomillado no da lugar a una oración demostrable por la inteligencia humana’.

3. Mostramos que el concepto ‘oración demostrable por la inteligencia humana’ está mal definido. Mostramos que si estuviese bien definido, G expresaría una proposición bien definida que sería a la vez verdadera y falsa, lo que es imposible.

Supongamos que ese concepto está bien definido. Entonces G expresa una proposición bien definida, dado que tanto su sujeto como su predicado están bien definidos. Eso nos permite razonar de esta manera:

Supongamos que G es demostrable por la inteligencia humana; entonces es verdadera, porque sólo se puede demostrar lo verdadero, y falsa, porque ella dice que G no es demostrable por la inteligencia humana; llegamos a una contradicción. Luego G no es demostrable por la inteligencia humana. Como eso mismo es lo que dice G, G es entonces verdadera. Pero somos humanos y acabamos de demostrar G, que dice que G no es demostrable por la inteligencia humana; luego G es falsa. Por tanto, G es a la vez verdadera y falsa.

Como ninguna proposición bien definida puede ser verdadera y falsa a la vez, G no expresa una proposición bien definida (es una oración paradójica) y entonces el concepto ‘oración demostrable por la inteligencia humana’ está mal definido.

4. Si CP es correcto, el concepto ‘oración demostrable por la inteligencia humana’ equivale al concepto ‘oración que el programa P genera’. Pero este último concepto está matemáticamente bien definido: por la definición de programa como máquina de Turing, dado un programa P y una oración G, o bien es un hecho matemático bien definido que P genera G o bien lo es que P no genera G.

Luego si CP es correcto, el concepto ‘oración demostrable por la inteligencia humana’ está bien definido. Pero hemos mostrado en el punto 3 que no lo está.

Por tanto, CP no es correcto.

Sobre el autor:

Laureano Luna Cabañero Licenciado en lenguas clásicas y doctor en filosofía. Articulista en philpapers. Autor de: «La insuficiencia del discurso racional» y «La lucha obrera en la era del capitalismo global».